Comment écrire l’ensemble des nombres ?
En mathématiques, un ensemble est une collection d’objets bien définis. Ces objets sont appelés les éléments de l’ensemble. Pour comprendre comment écrire l’ensemble des nombres, il faut d’abord comprendre les différents types d’ensembles de nombres.
L’ensemble des nombres naturels, noté N, est l’ensemble des nombres entiers positifs. Il est composé des nombres 1, 2, 3, 4, 5, etc. On peut écrire l’ensemble des nombres naturels en extension comme suit : N = {1, 2, 3, 4, 5, …}.
L’ensemble des nombres entiers, noté Z, est l’ensemble des nombres entiers positifs, négatifs et zéro. Il est composé des nombres -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, etc. On peut écrire l’ensemble des nombres entiers en extension comme suit : Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}.
L’ensemble des nombres rationnels, noté Q, est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction p/q, où p et q sont des nombres entiers et q est différent de zéro. On peut écrire l’ensemble des nombres rationnels en extension comme suit : Q = {p/q | p, q ∈ Z, q ≠ 0}.
L’ensemble des nombres irrationnels, noté I, est l’ensemble des nombres qui ne peuvent pas s’écrire sous la forme d’une fraction p/q, où p et q sont des nombres entiers et q est différent de zéro. Les nombres irrationnels sont des nombres décimaux qui ne se terminent pas et ne se répètent pas. Par exemple, π (pi) et √2 (racine carrée de 2) sont des nombres irrationnels.
L’ensemble des nombres réels, noté R, est l’ensemble de tous les nombres rationnels et irrationnels. On peut écrire l’ensemble des nombres réels en extension comme suit : R = {x | x est un nombre rationnel ou irrationnel}.
Comment écrire un ensemble en extension ?
Un ensemble est exprimé en extension lorsqu’il est défini par la liste explicite de ses éléments. Ainsi, on doit énumérer, entre accolades, tous les éléments qui font partie de l’ensemble. Par exemple, l’ensemble des nombres naturels impairs compris entre 2 et 10 peut être écrit comme suit : {3, 5, 7, 9}.
Cependant, il est souvent impossible d’énumérer tous les éléments d’un ensemble, surtout si l’ensemble est infini. Dans ce cas, on utilise la notation en compréhension. La notation en compréhension est une manière concise et efficace de définir un ensemble. Elle utilise la forme suivante : {x | P(x)}, où x représente un élément de l’ensemble et P(x) est une propriété que cet élément doit satisfaire.
Par exemple, l’ensemble des nombres naturels pairs peut être écrit en compréhension comme suit : {x | x est un nombre naturel et x est pair}. On peut également utiliser des symboles mathématiques pour représenter les propriétés des éléments. Par exemple, l’ensemble des nombres naturels pairs peut également être écrit comme suit : {x | x ∈ N et x est pair}.
Comment écrire l’ensemble des nombres irrationnels ?
L’ensemble des nombres irrationnels est un ensemble infini, il est donc impossible de l’écrire en extension. On peut cependant le définir en compréhension comme suit : {x | x est un nombre réel et x n’est pas un nombre rationnel}.
L’ensemble des nombres irrationnels peut également être défini comme la différence entre l’ensemble des nombres réels et l’ensemble des nombres rationnels. On peut écrire cette différence comme suit : R \ Q, où R représente l’ensemble des nombres réels et Q représente l’ensemble des nombres rationnels.
Il est important de noter que l’ensemble des nombres irrationnels est un ensemble dense dans l’ensemble des nombres réels. Cela signifie que pour tout nombre réel, il existe un nombre irrationnel aussi proche que l’on veut de ce nombre réel.
Exemples d’ensembles de nombres
Voici quelques exemples d’ensembles de nombres et comment les écrire en extension ou en compréhension :
- L’ensemble des nombres entiers positifs : {1, 2, 3, 4, 5, …}
- L’ensemble des nombres entiers négatifs : {-1, -2, -3, -4, -5, …}
- L’ensemble des nombres pairs : {x | x est un nombre entier et x est pair}
- L’ensemble des nombres impairs : {x | x est un nombre entier et x est impair}
- L’ensemble des nombres premiers : {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …}
- L’ensemble des nombres décimaux : {x | x est un nombre réel et x peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale}
En conclusion, écrire l’ensemble des nombres est un processus qui dépend du type d’ensemble que l’on souhaite définir. Il est important de comprendre les différents types d’ensembles de nombres et les méthodes d’écriture pour pouvoir les utiliser efficacement dans les mathématiques.